카타스트로피 이론
연속적인 원인이 연속적인 결과를 낳는다고 할 수 없다. 전등의 스위치를 off에서 on으로 천천히 연속적으로 조작하여도 전류가 off에서 on으로 갑자기 변하는 순간이 있다. 전등의 스위치에서는 연속적인 변화가 불연속적인 결과를 낳는다. 수학의 대부분이나 물리학의 대부분은 지금까지 오직 연속적 변화를 연구해 왔다. 그런데, 현대의 탁월한 수학자중의 한사람인 르네 톰(R. THom)은 불연속 변화에 대하여 심오한 이론을 발견하였는데 이것을 카타스트로피 이론이라 한다. 1974년 국제다양체회의에서 프랑스의 수학자 르네 톰과 지만 두 교수는 각각 카타스트로피 이론과 그 응용을 발표하여 세상을 놀라게 하였다. 아직 초기 단계에 머무른 짧은 기간에 비해 그 이론이 이룩한 내용을 미루어 보면 미래에 전개될 잠재성을 충분히 졈쳐 볼 수 있다.
(1) 기하학에서 카타스트로피 이론까지
수학의 분야에서는 그 나름대로 논증과 실증의 두 파가 있다. 대수적인 방법이 전자의 경우라고 보면 기하학적인 방법이 후자에 속한다. 기하학을 성립시킨 주관적인 근거는 '본다'는 인간의 직관력에 있다 눈의 기능을 미의식으로 승화시킨 것이 화학적인 예술이라고 한다면, 그것을 논리적으로 승화시킨 것이 기하학이다. 어떤 전문 영역에 종사하는 사람들도 자기가 하고 있는 일이 최고라는 자부심이 있다. 수학자에게는 '수학은 과학의 여왕'이라는 자부심이 있고, 그 중에서도 기하학자는 '기하학은 학문의 여왕'이라는 신념이 있다. 사실 수학자들의 긍지에 어울릴만큼 이 <여왕>고전기하학 - 은 위엄을 갖추고 있다. 그러나 이제 기하학의 성격도 크게 변했다. 오늘날 기하학은 보다 인간에 가까워지고 현실 생활에서 경험하는 특이한 상황까지를 다루게 되었다. 파국(catastrophe)으로 불리우는 극한 상황을 연구하는 기하학은 이러한 분위기를 배경으로 하여 태어났다.
수학의 모든 분야의 수법을 전부 동원해서 새로운 분야를 개척해 온 위상수학은 이제 수학의 최고봉의 하나로서 위치를 확립했다. 이 정상을 정복했다고 생각한 수학자들은 보다 놓은 산봉우리를 구름 사이에서 보았다. 그것이 카타스트로피 이론이다. 위상수학이 종래의 수학이 감히 대상으로 삼지 못했던 것들을 다루면서 수학의 세계를 누벼온 것은 사실이지만 여전히 연속성을 주된 대상으로 삼았다. 그러나 이제 연속성조차도 뛰어넘어 비연속성에 도전하는 새로운 수학이 탄생하게 되었다. 자연현상이나 사회현상 중에는 갑작스러운 변화가 일어날 때가 있다 생물의 생태 변화 화학물질의 폭발, 혁명, 의식의 문제 등에는 흔히 이러한 현상이 내포되어 있다. 그러나 수학자는 상상조차 못했었다. 미적분학에서 비롯되었던 해석학은 한마디로 말해서 연속적인 운동을 설명하기 위한 방법으로 발달할 것이다.
그러나 비연속적인 현상에서도 하나의 규칙성이 있다는 것을 알게 되면서 인간의 지적 욕구는 그 변화의 법칙을 확인하기 위해 힘쓰게 되었다. 비연속성의 연구는 위상기하학과 깊은 연관이 있으며 그것과 미분방정식의 연구가 서로 얽혀 발전하면서 수학의 전 분야를 하나로 통합하였다. 연속적인 변화만을 눈여겨 온 인간이 비연속적인 운동과 변화에 대해서 새삼 눈을 돌리자 연속적인 변화와 비연속적 변화를 아울러 연구하는 수학이 등장하였다.
(2) 카타스트로피 이론의 대상
세포 분열의 단계에서 보면 어느 정도 성장한 후에 세포는 2개의 서로 다른 세포로 분열한다. 불연속이 변화가 여기에서 일어난다. 또 풍선을 계속불면 어느 시기에는 풍선이 터져 버린다. 이와 같은 불연속적인 변화에 대한 모든 연구가 그 대상이다.
(3) 카타스트로피 이론과 미래의 학문
소설 <전쟁과 평화>에서 톨스토이는 어떤 시대의 어떤 정권 아래에서도 정치는 국민의 여론을 인식한다. 즉, 여론의 변화와 정책의 결정 사이에는 어떤 함수 관계가 성립한다는 것을 알 수 있다. 이것을 식으로 나타내면,
정책 = f (여론)
과 같이 된다.
이것을 경제문제에 적용시키면, 최대의 이익을 최소의 비용으로 얻고자 원하는 행동이라고 할 수 있다. 또, 수학적으로 나타내면 어떤 함수 P는 일정한 패턴으로 정해져 있고 그 때 일어나는 상태가 P를 최대로 하는 상황이며 이 상황에서는 카타스트로피적 점프(비약)와 발산성이라는 두 가지 특수한 현상이 일어날 수 있는 것이다.
실제로 파국 이론은 이러한 상황을 수학적으로 정확히 파악하려는 이론이다. 생물학, 심리학, 사회학, 정치학, 경제학 등의 과학은 종래는 이른바 기술적인 것이었으며, 이론적 체계를 세울 수 없는 것으로 생각되어 왔다. 그 이유중 하나는 그러한 상황을 다루는 수학적인 수단이 마련되어 있지 않았기 때문이었다. 그러나 앞으로 카타스트로피 이론은 이런 분야의 과학을 비약적으로 발전시킬 것으로 기대된다.
출처: http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=sb88knight&logNo=60007917901
[출처] [펌] 카타스트로피 이론_1|작성자 지킴이